Consideremos que una partícula describe un movimiento circular de radio r con velocidad constantev.
La partícula se encuentra en la posición A en el instante t-Dt/2, y su velocidad (tangente a la trayectoria) es v1. La partícula se encuentra en la posición simétrica B en el instante t+Dt/2 y su velocidad es v2.
Coloquemos los dos vectores velocidad v1 y v2 que tienen la misma longitud v con vértice en el punto P y calculamos las componentes radial o normal y tangencial del vector diferencia Dv=v2-v1.
- Componente normal
(Dv)n=v2·senf -v1·sen(-f )=2v·senf
- Componente tangencial
(Dv)t=v2·cosf -v1·cos(-f )=0
Por tanto el vector Dv es paralelo a la dirección radial PO, y está dirigido hacia el centro O.
Como la partícula recorre el arco AB de ángulo 2f con velocidad v constante.
El valor medio de la componente normal de la aceleración es por tanto,
La componente normal de la aceleración instantánea es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo Dt® 0, o bien cuando f ® 0. En este límite, senf /f ® 1 y por tanto, la componente normal de la aceleración en el instante t o en el punto P es
Naturalmente, la componente tangencial de la aceleración es cero en dicho instante, at=0.
Movimiento circular no uniforme. Aceleración tangencial y normal
Supongamos que la partícula pasa por el punto A en el instante t-Dt1 y lleva una velocidad v1(tangente a la trayectoria), y pasa por el punto simétrico B en el instante t-Dt2 llevando una velocidad v2. Como el movimiento no es uniforme los módulos de las velocidades serán diferentes.
Calculamos las componentes radial o normal y tangencial del vector diferencia Dv=v2-v1.
- Componente normal
(Dv)n=v2·senf -v1·sen(-f )=2(v2+v1)·senf
- Componente tangencial
(Dv)t=v2·cosf -v1·cos(-f )= (v2-v1) cosf
Al no ser los vectores velocidad de igual módulo, el vector diferencia Dv y por tanto la aceleración no tienen en general, dirección radial.
La partícula recorre el arco AB de ángulo 2f empleando un tiempo Dt=Dt1+ Dt2. La velocidad media <v> de la partícula en este intervalo de tiempo es
La componente normal y tangencial de la aceleración serán por tanto,
En el límite cuando el intervalo de tiempo Dt® 0, o bien cuando f ® 0, se cumple que, senf / f ® 1, cosf ® 1. La velocidad media <v>® v es la velocidad en el instante t cuando el móvil pasa por P, y también la velocidad promedio (v1+v2)/2® v.
De este modo obtenemos la misma fórmula de la componente normal de la aceleración que en el apartado anterior.
En cuanto a la componente tangencial, el numerador es un cambio infinitesimal en el módulo de la velocidad dv y el denominador es el tiempo dt que tarda la partícula en efectuar dicho cambio.
Las componentes de la aceleración serán, por tanto,
En la figura, la partícula se encuentra en el instante t en el punto P, formando un ángulo q con el eje X.
El vector posición r de la partícula es
r=xi+yj=r·cosq i+r·senq j
El vector velocidad v se obtiene derivando el vector posición respecto del tiempo
El vector aceleración se obtiene derivando el vector velocidad
El vector aceleración tiene dos componentes, que podemos expresar en virtud de las relaciones entre magnitudes angulares y lineales de dos formas.
La componente radial está dirigida hacia le centro de la circunferencia
an=w2r=v2/r,
La componente tangencial tiene la dirección de la velocidad, tangente a la trayectoria
at=a r=dv/dt.
Deducción alternativa de la aceleración normal (I)
Supongamos que el cuerpo describe un movimiento circular de radio r con velocidad constante v.
El vector velocidad v es tangente a la trayectoria y es perpendicular al vector posición r.
Las componentes rectangulares del vector velocidad v son
Como v/r es constante, las componentes del vector aceleración a son
El módulo de la aceleración a en el movimiento circular uniforme es
Su dirección es radial (la misma que el vector r) y su sentido es hacia el centro (de sentido contrario al vector r).
Deducción alternativa de la aceleración normal (II)
En esta sección, se describe la deducción más simple que se ha encontrado de la fórmula de la aceleración normal en un movimiento circular uniforme
El vector velocidad v se define
Su módulo para un movimiento circular uniforme es
Siendo P el periodo o tiempo que tarda en completar una vuelta
Su dirección es tangente a la trayectoria, es decir, perpendicular al vector r
El vector aceleración a se define
El vector aceleración a se obtiene a partir del vector velocidad v, de la misma manera que el vector velocidad v se obtiene a partir del vector posición r. Su módulo será, análogamente,
Su dirección es tangente a la circunferencia de radio v, es decir perpendicular al vector v. Como vemos en la figura, los vectores a y r tienen la misma dirección pero sentidos contrarios.
Magnitudes lineales y angulares
 | De la definición de radián (unidad natural de medida de ángulos) obtenemos la relación entre el arco y el radio. Como vemos en la figura, el ángulo se obtiene dividiendo la longitud del arco entre su radio
|
Derivando s=rq respecto del tiempo, obtenemos la relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular
La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria circular, es decir, perpendicular a la dirección radial
Aceleración tangencial
Derivando esta última relación con respecto del tiempo obtenemos la relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular.
Un móvil tiene aceleración tangencial, siempre que el módulo de su velocidad cambie con el tiempo.
Resumiendo
 | La dirección de la velocidad de un móvil en movimiento circular es tangente a la circunferencia que describe. Un móvil tiene aceleración tangencial at siempre que cambie el módulo de la velocidad con el tiempo. El sentido de la aceleración tangencial es el mismo que el de la velocidad si el móvil acelera y es de sentido contrario, si se frena. Un móvil que describe un movimiento circular uniforme no tiene aceleración tangencial. Un móvil que describe un movimiento circular siempre tiene aceleración normal, an ya que cambia la dirección de la velocidad con el tiempo. La aceleración normal tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe. La aceleración del móvil se obtiene sumando vectorialmente ambas componentes de la aceleración. |
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