30 jul 2010

Efecto Coriolis


El efecto Coriolis, descrito en 1835 por el científico francés Gaspard-Gustave Coriolis, es el efecto que se observa en un sistema de referencia en rotación (y por tanto no inercial) cuando un cuerpo se encuentra en movimiento respecto de dicho sistema de referencia. Este efecto consiste en la existencia de una aceleración relativa del cuerpo en dicho el sistema en rotación. Esta aceleración es siempre perpendicular al eje de rotación del sistema y a la velocidad del cuerpo.

El efecto Coriolis hace que un objeto que se mueve sobre el radio de un disco en rotación tienda a acelerarse con respecto a ese disco según si el movimiento es hacia el eje de giro o alejándose de éste. Por el mismo principio, en el caso de una esfera en rotación, el movimiento de un objeto sobre los meridianos también presenta este efecto, ya que dicho movimiento reduce o incrementa la distancia respecto al eje de giro de la esfera.

Debido a que el objeto sufre una aceleración desde el punto de vista del observador en rotación, es como si para éste existiera una fuerza sobre el objeto que lo acelera. A esta fuerza se la llama fuerza de Coriolis, y no es una fuerza real en el sentido de que no hay nada que la produzca. Se trata pues de una fuerza inercial o ficticia, que se introduce para explicar, desde el punto de vista del sistema en rotación, la aceleración del cuerpo, cuyo origen está en realidad, en el hecho de que el sistema de observación está rotando.

Un ejemplo canónico de efecto Coriolis es el experimento imaginario en el que disparamos un obús desde el Ecuador en dirección norte. El cañón está girando con la tierra hacia el este y, por tanto, imprime al obús esa velocidad (además de la velocidad hacia adelante de la carga de impulsión). Al viajar el obús hacia el norte, sobrevuela puntos de la tierra cuya velocidad líneal hacia el este va disminuyendo con la latitud creciente. La inercia del obús hacia el este hace que su velocidad angular aumente y que, por tanto, adelante a los puntos que sobrevuela. Si el vuelo es suficientemente largo, el obús caerá en un meridiano situado al este de aquél desde el cual se disparó, a pesar de que la dirección del disparo fue exactamente hacia el norte. Análogamente, una masa de aire que se desplace hacia el este sobre el ecuador aumentará su velocidad de giro con respecto al suelo en caso de que su latitud disminuya. Finalmente, el efecto Coriolis, al actuar sobre masas de aire (o agua) en latitudes intermedias, induce un giro al desviar hacia el este o hacia el oeste las partes de esa masa que ganen o pierdan latitud de forma parecida a como gira la bolita del ejemplo.

http://img826.imageshack.us/img826/4133/parabolicdishellipseosc.gif


Una bolita se mueve sin fricción sobre un plato de sección parabólica que está girando a velocidad constante. La gravedad tira de la bolita hacia el centro con una fuerza directamente proporcional a la distancia respecto a éste. La fuerza centrífuga (o, mejor dicho, la ausencia de fuerza centrípeta) tira de la bolita hacia afuera. La conservación del momento angular cambia la velocidad angular de la bolita cuando ésta se mueve hacia dentro (acelera) y hacia afuera (frena). También puede expresarse diciendo que, para mantener su velocidad líneal, la bolita cambia su velocidad angular al variar la distancia respecto al eje. En cualquier caso, la magnitud subyacente es la inercia y la desviación que sufre la bolita con respecto a la dirección de los radios es el efecto Coriolis. Izquierda: El movimiento observado desde un punto de vista externo. Derecha: El movimiento visto desde un punto de vista solidario con el sistema inercial.

Demostración por conservación del momento angular

Recordemos que cuando un observador en un sistema no inercial, como lo es un sistema en rotación, trata de comprender el comportamiento de su sistema como si fuese un sistema inercial, ve aparecer fuerzas ficticias. En el caso de un sistema en rotación, el observador ve que todos los objetos que no están sujetos se alejan de manera radial como si actuase sobre ellos una fuerza proporcional a sus masas y a la distancia a una cierta recta (el eje de rotacion). Esa fuerza es la fuerza centrífuga que hay que compensar con la fuerza centrípeta para sujetar los objetos. Por supuesto, para un observador externo, situado en un sistema inercial (sistema fijo), la única fuerza que existe es la fuerza centrípeta, cuando los objetos están sujetos. Si no lo están, los objetos tomarán la tangente y se alejarán del eje de rotación.

Si los objetos no están inmóviles con respecto al observador del sistema en rotación, otra fuerza ficticia aparece: la fuerza de Coriolis. Visto del sistema en rotación, el movimiento de un objeto se puede descomponer en una componente paralela al eje de rotación, otra componente radial (situada sobre una línea que pasa por el eje de rotación y perpendicular a éste), y una tercera componente tangencial (tangente a un círculo centrado en el eje y perpendicular a éste) (ver dibujo).

Un objeto que se desplaza paralelamente al eje de rotación, visto de un sistema fijo, gira con el sistema en rotación a la misma velocidad angular y radio constante. La única fuerza que actúa sobre el objeto es la fuerza centrípeta. El observador del sistema en rotación sólo ve la fuerza centrífuga contra la cual hay que oponerse para que se quede a la misma distancia del eje.

Supongamos que un observador en el sistema en rotación mantiene una masa m a una distancia R del eje de rotación mediante un hilo de masa despreciable. El observador tira del hilo y modifica ligeramente el radio de rotación de la masa de ΔR. Eso le ha tomado un tiempo Δt.. Como el momento dinámico es nulo, el momento angular de la masa se conserva. Si llamamos V la velocidad de la masa, la conservación del momento angular nos dice:

El signo menos indica que cuando el radio aumenta la velocidad tangencial disminuye.

Si la masa se moviese siguiendo una trayectoria radial, fija con respecto al sistema en rotación, conservando en consecuencia la misma velocidad angular ω del sistema en rotación, su velocidad lineal habría aumentado de ΔV2 = ωΔR (o disminuido, si ΔR es negativo). Para un observador fijo, entre la velocidad de la masa que se ve obligada a seguir una trayectoria radial y la velocidad de la masa que conserva su momento angular hay una diferencia de:

Como el objeto no está sujeto al sistema en rotación, el observador en ese sistema ve la masa tomar una velocidad lateral ΔV3 . Eso lo interpreta como la aplicación de una fuerza lateral (de Coriolis). Si el cambio de velocidad tomó Δt segundos, la aceleración de Coriolis será (en valor absoluto):



A continuación se presentan algunos videos para visualizar mejor el efecto coriolis


25 jul 2010

Aceleración

Movimiento circular uniforme. Aceleración normal

Consideremos que una partícula describe un movimiento circular de radio r con velocidad constantev.

acel_normal3.gif (3683 bytes)

La partícula se encuentra en la posición A en el instante t-Dt/2, y su velocidad (tangente a la trayectoria) es v1. La partícula se encuentra en la posición simétrica B en el instante t+Dt/2 y su velocidad es v2.

Coloquemos los dos vectores velocidad v1 y v2 que tienen la misma longitud v con vértice en el punto P y calculamos las componentes radial o normal y tangencial del vector diferencia Dv=v2-v1.

  • Componente normal

(Dv)n=v2·senf -v1·sen(-f )=2senf

  • Componente tangencial

(Dv)t=v2·cosf -v1·cos(-f )=0

Por tanto el vector Dv es paralelo a la dirección radial PO, y está dirigido hacia el centro O.

Como la partícula recorre el arco AB de ángulo 2f con velocidad v constante.

El valor medio de la componente normal de la aceleración es por tanto,

La componente normal de la aceleración instantánea es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo D0, o bien cuando f ® 0. En este límite, senf /f ® 1 y por tanto, la componente normal de la aceleración en el instante t o en el punto P es

Naturalmente, la componente tangencial de la aceleración es cero en dicho instante, at=0.

Movimiento circular no uniforme. Aceleración tangencial y normal

Supongamos que la partícula pasa por el punto A en el instante t-Dt1 y lleva una velocidad v1(tangente a la trayectoria), y pasa por el punto simétrico B en el instante t-Dt2 llevando una velocidad v2. Como el movimiento no es uniforme los módulos de las velocidades serán diferentes.

Calculamos las componentes radial o normal y tangencial del vector diferencia Dv=v2-v1.

  • Componente normal

(Dv)n=v2·senf -v1·sen(-f )=2(v2+v1senf

  • Componente tangencial

(Dv)t=v2·cosf -v1·cos(-f )= (v2-v1) cosf

Al no ser los vectores velocidad de igual módulo, el vector diferencia Dv y por tanto la aceleración no tienen en general, dirección radial.

La partícula recorre el arco AB de ángulo 2f empleando un tiempo Dt=Dt1+ Dt2. La velocidad media <v> de la partícula en este intervalo de tiempo es

La componente normal y tangencial de la aceleración serán por tanto,

En el límite cuando el intervalo de tiempo D0, o bien cuando f ® 0, se cumple que, senf / f ® 1, cosf ® 1. La velocidad media <vv es la velocidad en el instante t cuando el móvil pasa por P, y también la velocidad promedio (v1+v2)/2® v.

De este modo obtenemos la misma fórmula de la componente normal de la aceleración que en el apartado anterior.

En cuanto a la componente tangencial, el numerador es un cambio infinitesimal en el módulo de la velocidad dv y el denominador es el tiempo dt que tarda la partícula en efectuar dicho cambio.

Las componentes de la aceleración serán, por tanto,


Deducción alternativa de las fórmulas de la aceleración tangencial y normal

En la figura, la partícula se encuentra en el instante t en el punto P, formando un ángulo q con el eje X.

El vector posición r de la partícula es

r=xi+yj=cosq i+senq j

El vector velocidad v se obtiene derivando el vector posición respecto del tiempo

El vector aceleración se obtiene derivando el vector velocidad

El vector aceleración tiene dos componentes, que podemos expresar en virtud de las relaciones entre magnitudes angulares y lineales de dos formas.

La componente radial está dirigida hacia le centro de la circunferencia

an=w2r=v2/r,

La componente tangencial tiene la dirección de la velocidad, tangente a la trayectoria

at=a r=dv/dt.

Deducción alternativa de la aceleración normal (I)

Supongamos que el cuerpo describe un movimiento circular de radio r con velocidad constante v.

El vector velocidad v es tangente a la trayectoria y es perpendicular al vector posición r.

Las componentes rectangulares del vector velocidad v son

Como v/r es constante, las componentes del vector aceleración a son

El módulo de la aceleración a en el movimiento circular uniforme es

Su dirección es radial (la misma que el vector r) y su sentido es hacia el centro (de sentido contrario al vector r).

Deducción alternativa de la aceleración normal (II)

En esta sección, se describe la deducción más simple que se ha encontrado de la fórmula de la aceleración normal en un movimiento circular uniforme

El vector velocidad v se define

Su módulo para un movimiento circular uniforme es

Siendo P el periodo o tiempo que tarda en completar una vuelta

Su dirección es tangente a la trayectoria, es decir, perpendicular al vector r

El vector aceleración a se define

El vector aceleración a se obtiene a partir del vector velocidad v, de la misma manera que el vector velocidad v se obtiene a partir del vector posición r. Su módulo será, análogamente,

Su dirección es tangente a la circunferencia de radio v, es decir perpendicular al vector v. Como vemos en la figura, los vectores a y r tienen la misma dirección pero sentidos contrarios.

Magnitudes lineales y angulares

circular_8.gif (1531 bytes)
De la definición de radián (unidad natural de medida de ángulos) obtenemos la relación entre el arco y el radio. Como vemos en la figura, el ángulo se obtiene dividiendo la longitud del arco entre su radio

Derivando s=rq respecto del tiempo, obtenemos la relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular

La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria circular, es decir, perpendicular a la dirección radial

Aceleración tangencial

Derivando esta última relación con respecto del tiempo obtenemos la relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular.

Un móvil tiene aceleración tangencial, siempre que el módulo de su velocidad cambie con el tiempo.


Resumiendo

circular_9.gif (1491 bytes)La dirección de la velocidad de un móvil en movimiento circular es tangente a la circunferencia que describe.

Un móvil tiene aceleración tangencial at siempre que cambie el módulo de la velocidad con el tiempo. El sentido de la aceleración tangencial es el mismo que el de la velocidad si el móvil acelera y es de sentido contrario, si se frena. Un móvil que describe un movimiento circular uniforme no tiene aceleración tangencial.

Un móvil que describe un movimiento circular siempre tiene aceleración normal, an ya que cambia la dirección de la velocidad con el tiempo. La aceleración normal tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe.

La aceleración del móvil se obtiene sumando vectorialmente ambas componentes de la aceleración.