27 jun. 2010

Mecanismo de Peaucellier

El mecanismo de Peaucellier, ideado en 1873 por el capitán de ingenieros del ejército francés Charles Nicholas Peaucellier, permite hacer que un punto del mismo describa arcos de radio arbitrario cuando otro de de sus puntos es obligado a describir un arco de circunferencia adecuado. Su aplicación más extendida consiste en hacer que un punto describa de forma exacta un segmento (no de forma aproximada como en el paralelogramo de Watt, diseñado unos cien años antes). Cuando Lord Kelvin contempló el mecanismo, se dice que comentó que era la cosa más bonita que había visto nunca(!).En realidad, el sistema hace que si un punto D describe una curva, otro punto del mecanismo, el C, describe su curva inversa respecto a un punto O, con una constante de inversión igual a a2-b2, siendo a,b las longitudes de los dos tipos de barras utilizadas en la construcción del mecanismo. A continuación se procede al análisis geométrico del mecanismo.

El sistema está formado por 6 barras, según muestra la figura; dos de ellas, la OA y la OB son de longitud a y están articuladas a un punto fijo O que será el polo de la transformación inversa. Las cuatro barras forman un rombo articulado ACBD unido en A y B a las dos barras anteriores. Al aplicar el teorema del seno al triángulo OAC, se tiene

a sen a = b sen b (1)

y llamando d,d' a las longitudes OC,OD, se puede escribir

d= a cos a + b cos b

d'= a cos a - b cos b

de donde

dd' = a2 cos2 a - b2 cos2 b = a2-b2 - a2 sen2a + b2 sen2b

que, teniendo en cuenta (1) proporciona la relación de inversión

dd' = a2-b2


Es bien sabido que la relación de inversión transforma circunferencias que pasan por el polo en rectas perpendiculares a la recta que une centro y polo, y que a su vez, las rectas que no pasan por el polo se transforman en circunferencias que sí lo hacen (circunferencias que no pasan por el polo se transforman en otras que tampoco lo hacen). Por ejemplo, si D describe un arco de circunferencia de radio R (en trazo discontinuo en la figura), entonces

d' = 2R cos g

donde g es el ángulo polar desde OO', la coordenada xc según dicho eje de C será

xc= d cos g = a2-b2 /R

que, al ser constante indica que C se mueve sobre la recta indicada en trazo discontinuo en la figura.

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